Satellietzwermen, willekeurige wandelingen en een kopje thee
Hij schept orde in de chaos en analyseert satellietzwermen. Tijdens zijn promotieonderzoek verdiepte wiskundige Oliver Nagy zich in willekeurige netwerken en hoe deze tot evenwicht komen. Tussendoor ontwikkelde hij ook nog even een handige tool. Deze kennis is waardevol voor onder andere berekeningen met communicatienetwerken.
‘Stel je een kop warme thee voor,’ begint Nagy. ‘In het begin is het drankje rustig, maar zodra je melk toevoegt, ontstaat er chaos. Maar uiteindelijk kleurt de vloeistof gelijkmatig lichtbruin. Als je in het kopje zou roeren, zou dat nog sneller gebeuren.’ Dit proces, waarbij een dynamisch systeem van wanorde naar orde, of evenwicht beweegt, is het centrale onderwerp van Nagy’s proefschrift. ‘De kleur van de thee laat zien hoe ver het systeem nog van evenwicht af is,’ legt hij uit. ‘ Naarmate de melk zich verspreidt en de kleur uniform wordt, komt het systeem dichter bij een stabiele toestand.’
Net zoals je aan de kleur van de thee kunt zien hoe goed het gemengd is, zijn er abstracte methodes om te meten hoe ver een systeem van evenwicht af is.
Van thee naar theorie
Net zoals je aan de kleur van de thee kunt zien hoe goed het gemengd is, zijn er abstracte methodes om te meten hoe ver een systeem van evenwicht af is. Eén zo’n methode is de zogenaamde ‘totale variatieafstand’. Nagy: ‘Een waarde van nul betekent dat je evenwicht hebt bereikt, terwijl een waarde van één betekent dat je zo ver van een stabiele situatie af bent als maar kan.’
In de eerste twee hoofdstukken van zijn proefschrift duikt Nagy in het wiskundige concept van een random walk, ofwel ‘willekeurige wandeling’: een concept om te beschrijven hoe deeltjes door een systeem bewegen. Hij en zijn collega’s ontwikkelden modellen om deze bewegingen te volgen en om te meten hoe lang het duurt voordat systemen weer evenwicht bereiken. ‘Het tweede systeem dat we bestudeerden, naderde het evenwicht via een plotselinge sprong, een cut-off, op een willekeurig moment. Iets wat nog niet eerder was waargenomen.’
Satellietzwermen: een netwerk in beweging
Zelfs zeer dynamische systemen kun je bestuderen door te kijken naar het langetermijngemiddelde, wat vaak statisch is. Nagy paste dit principe toe op het communicatienetwerk binnen een satellietzwerm: een groep kleine satellieten die willekeurig bewegen doordat ze geen eigen aandrijfsysteem hebben. Hun onvoorspelbare bewegingen maken het moeilijk om het gedrag van het netwerk te voorspellen en de communicatie te behouden – een complexe technische uitdaging. Nagy: ‘Door ons te richten op het statische netwerk dat zich in de loop van de tijd vormt, kunnen we praktische vragen beantwoorden, zoals hoe we robuuste netwerken ontwerpen die blijven functioneren, zelfs als een satelliet tijdelijk buiten bereik is, of hoe we energiegebruik kunnen verminderen.’
Een onverwacht bijproduct
Het satellietproject leidde tot een onverwacht bijproduct: een nieuwe tool. Nagy: ‘We stuitten op een wiskundig probleem. Hoe bepaal je welke satellieten het belangrijkst zijn? Dit is cruciale informatie voor situaties waarin je bijvoorbeeld energie wilt besparen en alleen de twintig belangrijkste satellieten wilt behouden. Maar hoe maak je die keuze?’
Hoe bepaal je belangrijkheid in netwerken: de uitdaging van centraliteit
Nagy legt uit: ‘Eerst moet je vaststellen wat “belangrijk” eigenlijk betekent. Stel je een vriendennetwerk voor op de middelbare school. Wie is het populairst? Is het degene met de meeste vrienden, degene die in alle sociale groepen meedoet, of juist degene die een vage kennis is van iedereen? Dit zijn verschillende centraliteitsmethoden, en die kun je voor elk netwerk berekenen.’ Het lastige is: welke centraliteitsmethode kies je, en wat zijn de gevolgen van die keuze?
Nagy en zijn collega’s ontwikkelden een nieuwe manier om verschillende centraliteitsmethoden te vergelijken. ‘Elke centraliteitsmethode rangschikt de knooppunten in het netwerk en identificeert daarbij de belangrijkste, de tweede belangrijkste enzovoort. De vraag is of de verschillende maatregelen het eens zijn over welke knooppunten het belangrijkst zijn.’ Met dit idee ontwikkelde Nagy een ‘vergelijkingscurve voor centraliteit’, die de overeenkomsten of verschillen tussen verschillende maatregelen visualiseert. Dit helpt ingenieurs om zonder al te complexe berekeningen te bepalen welke knooppunten, zoals satellieten, essentieel zijn voor het goed functioneren van het netwerk. Nagy: ‘We stuitten op dit onverwachte probleem en losten het op. Ook dat is wiskunde.’
Proefschrift en promotie
Oliver Nagy verdedigde zijn proefschrift getiteld Approaching equilibrium in a dynamic network op 16 Januari in het Academiegebouw in Leiden. Zijn begeleiders waren hoogleraren Frank den Hollander and Remco van der Hofstad (Technische Universiteit Eindhoven), and Universitair hoofddocent Luca Avena (Universiteit van Florence).