De tel kwijt: de wiskundige magie van krommen tellen
Hoe kun je erachter komen welke punten er op een kromme liggen? En hoeveel mogelijke krommen tel je door een bepaald aantal punten? Dit is het soort vraagstukken dat Pim Spelier van het Mathematisch Instituut heeft bestudeerd tijdens zijn promotieonderzoek. Hij promoveerde op 12 juni cum laude.
Krommen tellen, wat doe je dan op een gemiddelde dag? ‘Heel veel voor je uitstaren’, antwoordt Pim Spelier lachend. ‘Als ik de vraag krijg wat ik precies doe, kan ik dat niet altijd makkelijk beantwoorden. Meestal geef ik dan het voorbeeld over het deeltje dat door de tijd reist.’
Alle mogelijke krommen
Stel: een deeltje beweegt door de ruimte en je volgt het pad dat het deeltje door de tijd heen maakt. Dat pad is een kromme, een meetkundig object. Hoeveel mogelijke paden kan het deeltje volgen, als we uitgaan van bepaalde eigenschappen? Een rechte lijn kan bijvoorbeeld maar op één manier door twee punten heen. Maar hoeveel paden zijn er mogelijk voor het deeltje als we lastigere krommen bekijken? En hoe bestudeer je dat? Door alle mogelijke krommen tegelijkertijd te bekijken. Alle mogelijke richtingen vanuit een bepaald punt vormen met elkaar bijvoorbeeld een cirkel, en dat noem je een moduliruimte. En die cirkel is zelf ook weer een meetkundig object.
De wiskundige magie is dan dat die verzameling van alle krommen zelf ook meetkundige eigenschappen heeft, vertelt Spelier, waarop je meetkundige trucjes kan toepassen. Nu kun je dat nog veel ingewikkelder maken met nog ingewikkeldere krommen en ruimtes. Dus niet in drie, maar bijvoorbeeld elf dimensies.
Spelier probeert wetmatigheden te vinden die altijd gelden voor de krommen die hij bestudeert. Zijn aanpak? Ingewikkelde ruimtes opbreken in kleine, makkelijke ruimtes. Dan kan je de krommen ook opbreken in deelkrommen. De ruimtes waarin je aan het tellen bent zijn makkelijker. Maar de krommen krijgen soms ingewikkelde eigenschappen, want die moet je ook weer kunnen lijmen. Spelier: ‘De hoop is genoeg wetmatigheden te vinden om het aantal krommen precies te bepalen.’
‘Het tellen wordt makkelijker als je ingewikkelde ruimtes opbreekt in kleine ruimtes’
Bewijs zoeken voor punten op krommen
Naast krommen heeft Spelier ook punten op krommen geteld. Het gaat om de vraag: hoeveel oplossingen heeft een bepaalde wiskundige vergelijking? Dit gaat om vergelijkingen die een tikje ingewikkelder zijn dan de a2 + b2 = c2 van de stelling van Pythagoras. Die vergelijking gaat over de lengtes van de zijdes van een rechthoekige driehoek. Vervang je de kwadraten door hogere machten, dan is het lastiger om oplossingen te onderzoeken. Het gaat hierbij om oplossingen in hele getallen, bijvoorbeeld 32 + 42 = 52.
Inmiddels is er een methode om die oplossingen wél te vinden. De in 2022 overleden hoogleraar Wiskunde Bas Edixhoven ontwikkelde samen met zijn PhD-student Guido Lido een alternatieve aanpak voor hetzelfde probleem. Maar in hoeverre de twee methodes overeenkomen en verschillen was nog onduidelijk. Spelier heeft tijdens zijn promotieonderzoek een algoritme ontwikkeld om dit te onderzoeken.
De eerste persoon met een antwoord
Het ontwikkelen van dat algoritme is nodig om de methode te implementeren. Als je het met de hand wilt doen, krijg je pagina’s en pagina’s aan vergelijkingen. De methode van Edixhoven gebruikt algebraïsche meetkunde. Door slimme meetkundige trucjes kun je van een bepaalde kromme precies de gehele punten berekenen. Spelier heeft bewezen dat de Edixhoven-Lido-methode beter is dan de oude.
‘Pim geeft een antwoord op een kwestie die wiskundigen echt bezighield’
David Holmes, hoogleraar Zuivere Wiskunde en begeleider van Spelier, is lovend over het geleverde bewijs. ‘Als jij de eerste persoon bent die een vraag beantwoordt waarop iedereen uit onze gemeenschap een antwoord wil, is dat heel indrukwekkend. Pim bewijst dat deze twee methoden voor het vinden van rationale punten vergelijkbaar zijn, een kwestie die wiskundigen echt bezighield.’
Samen wiskunde doen
Het leukste aan zijn promotieonderzoek? De meetings met zijn supervisor. Na het eerste jaar was het meer samenwerking dan begeleiding, zo beaamt ook Holmes. Spelier: ‘Samen wiskunde doen is toch leuker dan alleen.’ Spelier begint in september als postdoc in Utrecht en is kennelijk nog niet uitgeteld. Na het tellen van punten en krommen, gaat hij binnenkort ook oppervlaktes tellen.
Pim Spelier verdedigde zijn proefschrift getiteld ‘Counting curves and their rational points’. Hij promoveerde cum laude.